Математика становится пугающим клеймом для студентов, хотя чем больше вы изучаете и часто практикуете математику, тем веселее и приятнее это будет. Итак , теперь мы пригласим вас узнать больше о математической индукции. Что такое математическая индукция и для чего она нужна?
Сама математическая индукция может быть интерпретирована как метод доказательства в математике. Он используется для доказательства специальных утверждений, содержащих натуральные числа. Доказательство с использованием этого метода дает общие выводы.
Введение в математическую индукцию
При доказательстве с помощью математической индукции получаются общие выводы. Для получения выводов используются два типа рассуждений: дедуктивные и индуктивные.
- Дедуктивное рассуждение - это рассуждение, которое начинается от общих утверждений к конкретным утверждениям. Этот подход называется «общераспространенным», потому что рассуждение начинается с общего, а затем заканчивается конкретными. Пример; все яблоки - плоды, все фрукты растут на деревьях, поэтому все яблоки растут на деревьях.
- Индуктивное рассуждение - это рассуждение, которое начинается от конкретных утверждений к общим утверждениям. Этот подход называется «общераспространенным», поскольку утверждения состоят из конкретных моментов, позволяющих прийти к общепринятым выводам. Пример; Пассажир автобуса замечает, что каждый раз, когда водитель автобуса нажимает на тормоз, все пассажиры автобуса толкаются вперед.
(Также прочтите: Преобразование в математике, например, что?)
Кроме того, метод математической индукции может быть использован для доказательства истинности специальной гипотезы, так что она становится общепринятой. Итак, этот метод используется для доказательства в индуктивных рассуждениях.
Применение математической индукции
Применение математической индукции можно найти в различных разделах математики. Гипотезы, выдвинутые в математике, должны быть доказаны, чтобы быть общепринятыми. Гипотеза обычно считается верной, если она подтверждается для всех используемых числовых значений. Вот пример утверждения, которое можно доказать таким образом.
Докажите, что сумма -n ряда нечетных чисел равна n2. Где n - натуральное число.
Решение: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 применяется к каждому n € A
Основной шаг: для n = 1 получаем, что P1 = 1 = 12 правильно.
Шаг индукции: предположим, что для n = k верно P k . Будет показано, что для n = k + 1 верно P (k + 1) = (k + 1) 2.
Обратите внимание на следующие шаги:
Если n = k, то верно P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2.
Добавив [2 (k + 1) -1] к двум сторонам, тогда
P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]
= k2 + 2k + 2 -
= k2 + 2k +
= (k + 1) 2 (доказано)
Принципы математической индукции
Пусть P (n) - оператор, содержащий натуральные числа. Выражение P (n) может быть доказано для всех натуральных чисел n, выполнив шаги математической индукции.
Вот шаги доказательства с использованием этого метода:
- Докажите, что P (1) истинно или P (n) истинно для n = 1.
- Если P (k) истинно, то покажите, что P (k + 1) истинно для любого положительного целого числа k.
Если шаги (1) и (2) верны, можно сделать вывод, что P (n) истинно для любого натурального числа n. Шаг 1 называется базовым, а шаг 2 - индукционным.
