В архитектуре существуют математические расчеты для построения зданий, одна из которых представляет собой систему линейных уравнений. Система линейных уравнений полезна для определения координат точек пересечения. Правильные координаты необходимы для создания здания, соответствующего эскизу. В этой статье мы обсудим систему линейных уравнений с тремя переменными (SPLTV).
Система линейных уравнений с тремя переменными состоит из нескольких линейных уравнений с тремя переменными. Общий вид линейного уравнения с тремя переменными выглядит следующим образом.
ах + по + cz = d
a, b, c и d - действительные числа, но не все a, b и c равны 0. Уравнение имеет много решений. Одно решение можно получить, приравняв любое значение к двум переменным, чтобы определить значение третьей переменной.
Значение (x, y, z) - это набор решений системы линейных уравнений с тремя переменными, если значение (x, y, z) удовлетворяет трем уравнениям в SPLTV. Расчетный набор SPLTV можно определить двумя способами: методом замещения и методом исключения.
Метод замены
Метод подстановки - это метод решения систем линейных уравнений путем подстановки значения одной переменной из одного уравнения в другое. Этот метод выполняется до тех пор, пока все значения переменных не будут получены в системе линейных уравнений с тремя переменными.
(Также читайте: Система линейных уравнений с двумя переменными)
Метод подстановки проще использовать в SPLTV, который содержит уравнения с коэффициентом 0 или 1. Вот шаги для решения метода подстановки.
- Найдите уравнение простой формы. Упрощенные уравнения имеют коэффициент 1 или 0.
- Выразите одну переменную в виде двух других переменных. Например, переменная x выражается через y или z.
- Подставьте значения переменных, полученные на втором этапе, в другие уравнения в SPLTV, чтобы получить систему линейных уравнений с двумя переменными (SPLDV).
- Определите расчет SPLDV, полученный на третьем этапе.
- Определите значения всех неизвестных переменных.
Давайте сделаем следующий пример задачи. Найдите множество решений следующей системы линейных уравнений с тремя переменными.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
Во-первых, мы можем преобразовать уравнение (1) в, z = -x - y - 6 в уравнение (4). Затем мы можем подставить уравнение (4) в уравнение (2) следующим образом.
х - 2у + г = 3
х - 2у + (-х - у - 6) = 3
х - 2у - х - у - 6 = 3
-3y = 9
у = -3
После этого мы можем подставить уравнение (4) в уравнение (3) следующим образом.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
х = -5
У нас есть значения для x = -5 и y = -3. Мы можем подставить его в уравнение (4), чтобы получить значение z следующим образом.
г = -х - у - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
г = 5 + 3-6
г = 2
Итак, у нас есть набор решений (x, y, z) = (-5, -3, 2)
Метод устранения
Метод исключения - это метод решения систем линейных уравнений путем исключения одной из переменных в двух уравнениях. Этот метод выполняется до тех пор, пока не останется только одна переменная.
Метод исключения можно использовать во всех системах линейных уравнений с тремя переменными. Но этот метод требует длинного шага, потому что каждый шаг может исключить только одну переменную. Для определения набора расчетов SPLTV требуется минимум 3 метода исключения. Этот метод проще в сочетании с методом подстановки.
Шаги для завершения с использованием метода исключения следующие.
- Обратите внимание на три сходства на SPLTV. Если два уравнения имеют одинаковый коэффициент для одной и той же переменной, вычтите или сложите два уравнения, чтобы переменная имела коэффициент 0.
- Если ни одна из переменных не имеет одинаковых коэффициентов, умножьте оба уравнения на число, которое делает коэффициент переменной в обоих уравнениях одинаковым. Вычтите или сложите два уравнения, чтобы переменная имела коэффициент 0.
- Повторите шаг 2 для других пар уравнений. Переменная, пропущенная на этом шаге, должна быть такой же, как переменная, пропущенная на шаге 2.
- После получения двух новых уравнений на предыдущем шаге определите набор решений для этих двух уравнений, используя метод решения системы линейных уравнений с двумя переменными (SPLDV).
- Подставьте значение двух переменных, полученных на шаге 4, в одно из уравнений SPLTV, чтобы получить значение третьей переменной.
Мы попробуем применить метод исключения в следующей задаче. Определите набор решений SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
SPLTV можно определить, исключив переменную z. Сначала сложите уравнения (1) и (2), чтобы получить:
2х + 3у - г = 20
3х + 2у + г = 20 +
5x + 5y = 40
х + у = 8 ... (4)
Затем умножьте 2 в уравнении (2) и умножьте 1 в уравнении (1), чтобы получить:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
х + 4у + 2z = 15 | х1 х + 4у + 2z = 15 -
5x = 25
х = 5
Зная значение x, подставьте его в уравнение (4) следующим образом.
х + у = 8
5 + у = 8
у = 3
Подставьте значения x и y в уравнение (2) следующим образом.
3х + 2у + г = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
Таким образом, набор решений SPLTV (x, y, z) равен (5, 3, -1).
